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    文学论文

    数学哲学对于数学发展有何影响

    时间:2018年06月21日 所属分类:文学论文 点击次数:

    数学是大部分学科的基础,在数学的发展过程中,哲学思想在启蒙时期有非常重要的意义。早期发展中的柏拉图哲学思想,后期发展中的哥德尔哲学思想,给数学带来了革命性的变化;维特根斯坦哲学在后来数学衍生的计算机技术上起到奠基作用。下面文章对柏拉图、哥德

      数学是大部分学科的基础,在数学的发展过程中,哲学思想在启蒙时期有非常重要的意义。早期发展中的柏拉图哲学思想,后期发展中的哥德尔哲学思想,给数学带来了革命性的变化;维特根斯坦哲学在后来数学衍生的计算机技术上起到奠基作用。下面文章对柏拉图、哥德尔和维特根斯坦的哲学思想进行简要介绍,并阐述其对数学发展的影响。

      关键词:数学哲学,柏拉图,哥德尔,维特根斯坦

    数学哲学

      一、前言

      数学是大部分学科的基础,是一种思想的衍生,在很多学科中都有非常具体的体现。在数学的发展史中,哲学思想有很重要的价值,例如柏拉图学派。早期柏拉图在数学方面提出“理念论”与数学的抽象性,这种抽象性是纯粹的数学概念,如“对角线”的概念。与此同时,柏拉图也进行了抽象化的研究,如对正方形的研究,这种抽象的研究奠定了柏拉图学派在数学领域的光辉成就。柏拉图也提出了认识论,推动了数学公理化的发展。

      他在认识论上排斥了感觉,虽然并不认可感觉的真实性,但这种认为感觉不可靠的认识,对于数学公理化的发展起到极为重要的作用。同时,柏拉图自身所处的社会大环境(贵族环境)导致其哲学观对数学发展起到了一定的束缚作用。柏拉图思想的高度唯心化,使他提出“数学与应用应该分离,数学是为了训练心灵”这种过于高尚的语论,导致后来希腊数学发展的不平衡(代数学和几何发展的差距)。这种过分的艺术话,最终种下了死亡的种子。

      柏拉图之后,柏拉图学派一分为三。最强的柏拉图主义以哥德尔为首,强调传统立场,对悖论的出现不以为然;最弱柏拉图主义,在悖论上做出妥协,后来罗素、维特根斯坦等人也持同

      样的思想;折中的温和(狭义)柏拉图主义以贝尔内斯为代表,放弃了抽象立场,主张对象的理想概念。本文将从柏拉图、哥德尔、维特根斯坦三人的哲学思想来阐述数学发展史中的哲学思想。

      二、主要哲学思想介绍

      1.柏拉图的哲学思想

      柏拉图在哲学上强调理念论,强调人们的形式和观念形成一个客观的世界,又被称为“理念世界”。这种理念是永恒不变的,是一些事物的“范型”。柏拉图认为世界的一切都是由人们看到的事物产生一种认识,当看到的更多时则会刷新这种认识或者形成一种更全面的认识。这种哲学思想被柏拉图运用在早期数学研究上,使他开始思考数学感觉。感觉也是一种看到的认识,这种认识在数学上会因为看到得更多而被刷新,进而出现认识的错误,所以柏拉图在数学上排斥感觉,认识数学概念不依赖于经验。

      从他在《国家篇》中的言论“他们所研究的并不是他们画的特殊图形特殊对角线,而是其本身”中可以看出,柏拉图的思想排斥感觉,他认为所画的特殊图形就是一种感觉,而感觉是不可靠的,科学研究应研究事物的本身,而不是我们看到的特殊图形。因而在数学上,柏拉图提出抽象化的观点,与数学的本身高度抽象性一致。数学的研究也是抽象的研究,反映了现实社会数量关系和空间形式。在数学抽象性上,柏拉图的抽象化观点很好地与数学相吻合,从而对当时数学的发展起到推进作用。对于感觉的思考,柏拉图形成了他的认识论。

      正如前文所说,特殊图形在柏拉图眼里都是一个特殊的事物,考虑到认识可能会被刷新,所以他不认为这个是真实知识的源泉,认为真实的知识是人们对理念的一种回忆,排除了特殊性。这种对感觉的否定或者说是对感觉的不认可,在任何时期都有非常重要的意义。柏拉图主张数学就是提出一些假定前提,如平行和对称,从严格的逻辑推理中得到预期的结论。这种主张与日后数学公理化的主张类似,公理是少量的基本概念公理,应用严格的逻辑推理,形成演绎的系统。很明显,柏拉图的主张与数学公理化吻合,柏拉图哲学思想是数学公理化的一个开端,奠定了基础。

      2.哥德尔的哲学思想

      哥德尔的哲学思想是数学柏拉图主义的一个分支,因为集合论悖论的出现,数学柏拉图主义出现分歧。哥德尔认为存在一个所有数学的对象关系的理想对象世界,他为柏拉图主义辩护:“既然有客观性,那就一定有(数学)对象存在。”他将数学里的这层关系上升到了直觉论。

      他的数学实体是柏拉图式的纯粹,不在物理上也不在心灵上,是一种抽象实体。哥德尔哲学对数学的主要研究方向为抽象实体,他对实体有三个非常重要的论证。第一,证明了数学不是一种约定,批评了之前数学约定论的不合理性;第二,批评了算法主义,同时解释了哥德尔定理和

      判定机器能否思维这一问题;第三,论证他的直觉论,说明数学直觉的不可消除性。哥德尔的直觉论对他十分重要,在他之后探究的所有领域中都有对直觉论的应用。哥德尔喜欢运用数学直觉来论证独特性。

      哥德尔在直觉论中曾说过:“对于那些公理,不存在合理的基础,除了要么它们可以直接被知觉到是真的,要么它们以归纳论证为基础被假设,比如在他们使用过程中的成功为基础。”这是一种形而上学的思想,在直觉上他认为,真理是概念构成了自身的一个客观事实,不可能创造和改变,只能用知觉来描述。哥德尔的哲学在抽象上进入了数学哲学,所以他会被当时胡赛尔建立的现象学吸引。

      哥德尔希望证明某些数学直觉的存在可以与柏拉图实体结合,能够证明柏拉图实体的存在,如:说明数学直觉确实存在,说明这些直觉是不可消灭的,证明其独立性,证明这种直觉与

      其他直觉的不同。在数学上看,哥德尔强调直觉在数学上的重要性,来捍卫他的柏拉图主义。

      3.维特根斯坦的哲学思想

      维特根斯坦是一个矛盾主义家,他的哲学思想分为两个部分:第一,在数学柏拉图主义上提出符号化。对于悖论这个问题,维特根斯坦认为悖论也是数学,没必要绝对清除悖论,认可这种矛盾是维特根斯坦的哲学思想,就像他自己说的,矛盾不是绝对的错误。第二,他也一定程度上反对柏拉图主义。维特根斯坦主张在数学中人的主观能动性,他不像柏拉图一样把数学过于高尚化(柏拉图认为数学与逻辑是独立的),而是认为数学是人思考后的产物,是直觉对人思考影响后的构造。之后他将形而上学转向语言化,又认可直觉的作用。第三,支持潜无穷的观点,摒弃实无穷的思想。这源于他的直觉主义,使之反对实无穷。他提出的符号逻辑在后来成了现代计算机的基础。

      4.数学哲学思想在数学发展中的影响

      在柏拉图的哲学思想里,抽象化的思想对数学公理化起到了奠定作用。数学柏拉图主义对数学逻辑做出了五个方面的贡献:第一,建立了完备、一致的经典演绎;第二,构建了集合论;第三,提出了无穷集合观;第四,集合论的悖论得到初步解决;第五,参与了证明论、递归论与模型论的创建工作。然而,柏拉图自己身处的社会环境使得他的一些思想对后来数学的发展有抵制作用。柏拉图出生在贵族奴隶主的家庭,其哲学思想目的是为了他所在的阶级服务,所以他会编造神学,把人分割成各种阶级。当时的社会环境统治者对工商业不屑一顾,柏拉图也不例外。

      他反对数学与应用相结合,看重于理论世界,认为数学不是用来指导人们改造自己的世界、提升生活品质,而是用来给自己净化灵魂。这使得希腊数学在代数学和几何上出现严重的不对称,后来几何学已经发展成系统性科学,而代数学还在直觉、经验阶段。数学柏拉图主义的高度艺术化,或者说为了艺术而艺术的思想,给数学柏拉图主义留下了祸根。

      维特根斯坦推动了第二次语言学的转向,其形式逻辑、符合逻辑、逻辑哲学对日后有很大的作用。如今的现代计算机基础就是维特根斯坦的符号逻辑,其日常语言哲学对后世影响很大。维特根斯坦的早年思想和后来的思想差距悬殊(早期逻辑主义,后期日常用语哲学),但是有一个主张没有变,就是认识不可能超过经验。在维特根斯坦看来,悖论是从语言混乱而来,数学里也有矛盾。

      四、小结

      柏拉图和哥德尔的哲学思想在日后数学发展上有着非常重要的作用,维特根斯坦的日常语言哲学在后来计算机技术上也有举足轻重的作用。哲学是数学的起初,人们发展科学无非是认识世界。就像高斯所说的“数学是上帝的语言”一样,哲学是人类第一个去认识世界的学科,数学与哲学之间必然有相连性。数学是探究数、形、体的科学,从数学柏拉图主义中可以看出,柏拉图哲学在数学基础研究中有着重要意义,推动了数学的发展。

      但是他反对理论与实际,对数学在应用中的发现动力进行了堵塞,这是柏拉图主义的教训。哥德尔的数学直觉论给后来数学的发展带来了革命性的变化,哥德尔不完全性理论有跨时代的意义,也使得哥德尔成为一位里程碑式的数学家与逻辑学家。维特根斯坦的日常用语哲学对于数学后来衍生的计算机科学起到了奠基作用,其意义不用言说。从数学史可以看出,哲学对数学有着非常重大的影响,数学的发展与哲学的发展相辅相成,互相促进,通过对哲学的研究与学习,能够加深对数学学科的理解与思考。

      参考文献:

      [1]庄朝晖.基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论——从维特根斯坦的评论开始[J].厦门大学学报(哲学社会科学版).2008(02):78-85.

      [2]杜汉生.数学与维特根斯坦的哲学[J].湖北师范学院学报(哲学社会科学).1998.Vol.18(4):5-10.

      [3]张云岭.柏拉图的哲学思想及其对数学发展的影响[J].衡水师专学报.1999(1):37-39.

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